BAB 4 : APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
4.3 Panjang Suatu Kurva
A) Rangkuman Materi
1 Panjang Busur
Definisi 4.1 (Rumus *anjang Busur)
Jika \( f \) adalah fungsi kontinu pada \([a, b]\), maka panjang busur \( S \) kurva \( y = f(x) \) dari \( x = a \) ke \( x = b \) didefinisikan oleh
\( S = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \)
\( S = \int_c^d \sqrt{1 + (g'(y))^2} \, dy = \int_c^d \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2} \, dy \)
/gambar_kp (3).svg)
B) Contoh Soal
1. Dapatkan panjang busur kurva \( x = \frac{1}{3}(y^2 + 2)^{3/2} \) dari \( x = 0 \) sampai dengan \( x = 1 \).
Pembahasan:
Perhatikan bahwa \( \frac{1}{3}(y^2 + 2)^{3/2} \) kontinu di \([0,1]\), sehingga \[ \frac{d}{dy} \left[ \frac{1}{3}(y^2 + 2)^{3/2} \right] = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}(y^2 + 2)^{1/2} \cdot 2y = y(y^2 + 2)^{1/2} \] Panjang busur: \[ \begin{align*} S &= \int_{c}^{d} \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2} \, dy \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left[ y(y^2 + 2)^{1/2} \right]^2} \, dy \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + y^2(y^2 + 2)} \, dy \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{y^4 + 2y^2 + 1} \, dy \\ &= \int_{0}^{1} (y^2 + 1) \, dy \\ &= \left[ \frac{1}{3}y^3 + y \right]_{0}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{3} \cdot 1^3 + 1 \right) - (0 + 0) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \end{align*} \] Jadi, panjang busur kurva tersebut adalah \( \boxed{\frac{4}{3}} \).
2. Soal EAS 2020 Gambarkan kurva \( y = \cosh x \), pada interval \( -2 \leq x \leq 2 \) dan carilah panjang kurva tersebut.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa \( \cosh x \) kontinu di \([-2, 2]\), sehingga \[ \frac{d}{dx} [\cosh x] = \sinh x \] Panjang kurva: \[ \begin{align*} S &= \int_{-2}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \\ &= \int_{-2}^{2} \sqrt{1 + (\sinh x)^2} \, dx \\ &= \int_{-2}^{2} \sqrt{(\cosh x)^2} \, dx \\ &= \int_{-2}^{2} \cosh x \, dx \\ &= [\sinh x]_{-2}^{2} \\ &= \sinh 2 - \sinh(-2) \\ &= 2\sinh 2 \\ &= 2 \cdot \frac{e^{2} - e^{-2}}{2} \\ &= e^{2} - e^{-2} \end{align*} \] Jadi, panjang kurva tersebut adalah \( \boxed{e^{2} - e^{-2}} \).
C) Latihan Soal
1. Soal EAS 2022
Dapatkan panjang busur kurva \( 24xy = x^4 + 48 \) dari \( x = 2 \) sampai dengan \( x = 4 \).
2. Soal EAS 2021
Dapatkan panjang kurva \( y = 75\cosh\left(\frac{x}{75}\right) \) dari \( x = -150 \) ke \( x = 150 \).
3. Soal EAS 2020
s Dapatkan panjang busur kurva \( x = \frac{1}{8}y^4 + \frac{1}{4}y^{-2} \) dari \( y = 2 \) sampai \( y = 4 \).
4. Dapatkan panjang busur kurva \( y = \frac{x^4 + 8}{16x^2} \) dari \( x = 2 \) dan \( x = 3 \).
Dapatkan panjang busur kurva \( 24xy = x^4 + 48 \) dari \( x = 2 \) sampai dengan \( x = 4 \).
Pembahasan
Karena \( x \neq 0 \), kita bisa membagi kedua ruas dengan \( x \):
\[
24xy = x^4 + 48 \implies y = \frac{1}{24}x^3 + \frac{2}{x}
\]
Selanjutnya, perhatikan bahwa \( \frac{1}{24}x^3 + \frac{2}{x} \) kontinu di \([2,4]\), sehingga:
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{24}x^3 + \frac{2}{x} \right) = \frac{1}{8}x^2 - \frac{2}{x^2}
\]
Panjang busur:
\[
\begin{align*}
S &= \int_{2}^{4} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \\
&= \int_{2}^{4} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{8}x^2 - \frac{2}{x^2} \right)^2} \, dx \\
&= \int_{2}^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{64}x^4 - \frac{1}{2}x^0 + \frac{4}{x^4}} \, dx \\
&= \int_{2}^{4} \sqrt{\frac{1}{64}x^4 + \frac{1}{2} + \frac{4}{x^4}} \, dx \\
&= \int_{2}^{4} \left( \frac{1}{8}x^2 + \frac{2}{x^2} \right) dx \\
&= \left[ \frac{1}{24}x^3 - \frac{2}{x} \right]_{2}^{4} \\
&= \left( \frac{1}{24} \cdot 64 - \frac{2}{4} \right) - \left( \frac{1}{24} \cdot 8 - 1 \right) \\
&= \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) \\
&= \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 1 \\
&= \frac{8-1.5-1+3}{3} \\
&= \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \\
&= 3
\end{align*}
\]
Jadi, panjang busur kurva tersebut adalah \( \boxed{3} \).
2. Soal EAS 2021
Dapatkan panjang kurva \( y = 75\cosh\left(\frac{x}{75}\right) \) dari \( x = -150 \) ke \( x = 150 \).
Pembahasan
Perhatikan bahwa \( y = 75\cosh\left(\frac{x}{75}\right) \) kontinu di \([-150, 150]\), sehingga:
\[
\frac{dy}{dx} = 75 \cdot \sinh\left(\frac{x}{75}\right) \cdot \frac{1}{75} = \sinh\left(\frac{x}{75}\right)
\]
Panjang kurva:
\[
\begin{align*}
S &= \int_{-150}^{150} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \\
&= \int_{-150}^{150} \sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{x}{75}\right)} \, dx \\
&= \int_{-150}^{150} \cosh\left(\frac{x}{75}\right) \, dx \\
\end{align*}
\]
Karena turunan dari \( \sinh\left(\frac{x}{75}\right) \) terhadap \( x \) adalah \( \frac{1}{75}\cosh\left(\frac{x}{75}\right) \), maka:
\[
\int \cosh\left(\frac{x}{75}\right) dx = 75\sinh\left(\frac{x}{75}\right) + C
\]
Sehingga:
\[
S = \left[75\sinh\left(\frac{x}{75}\right)\right]_{-150}^{150}
\]
\[
= 75\left(\sinh(2) - \sinh(-2)\right)
\]
Karena \( \sinh(-2) = -\sinh(2) \), maka:
\[
S = 75 \cdot (2\sinh(2)) = 150\sinh(2)
\]
Jadi, panjang kurva tersebut adalah \( \boxed{150\sinh(2)} \).
3. Soal EAS 2020
s Dapatkan panjang busur kurva \( x = \frac{1}{8}y^4 + \frac{1}{4}y^{-2} \) dari \( y = 2 \) sampai \( y = 4 \).
Pembahasan
Perhatikan bahwa \( x = \frac{1}{8}y^4 + \frac{1}{4}y^{-2} \) kontinu di \([2,4]\), sehingga:
\[
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2}y^3 - \frac{1}{2}y^{-3}
\]
Panjang busur:
\[
\begin{align*}
S &= \int_{2}^{4} \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy \\
&= \int_{2}^{4} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}y^3 - \frac{1}{2}y^{-3}\right)^2} \, dy \\
&= \int_{2}^{4} \sqrt{1 + \frac{1}{4}y^6 - \frac{1}{2}y^0 + \frac{1}{4}y^{-6}} \, dy \\
&= \int_{2}^{4} \sqrt{\frac{1}{4}y^6 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}y^{-6}} \, dy \\
&= \int_{2}^{4} \left(\frac{1}{2}y^3 + \frac{1}{2}y^{-3}\right) dy \\
&= \left[ \frac{1}{8}y^4 - \frac{1}{4}y^{-2} \right]_{2}^{4} \\
&= \left( \frac{1}{8} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} \right) - \left( \frac{1}{8} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \right) \\
&= \left(32 - \frac{1}{64}\right) - \left(2 - \frac{1}{16}\right) \\
&= 32 - \frac{1}{64} - 2 + \frac{1}{16} \\
&= 30 + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} \\
&= 30 + \frac{4-1}{64} \\
&= 30 + \frac{3}{64}
\end{align*}
\]
Jadi, panjang busur kurva tersebut adalah \( \boxed{30 + \frac{3}{64}} \).
4. Dapatkan panjang busur kurva \( y = \frac{x^4 + 8}{16x^2} \) dari \( x = 2 \) dan \( x = 3 \).
Pembahasan
Diketahui \( y = \frac{x^4 + 8}{16x^2} = \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{2}x^{-2} \).
Turunkan terhadap \( x \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{8}x - x^{-3} \] Panjang busur: \[ \begin{align*} S &= \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \\ &= \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{8}x - x^{-3} \right)^2} \, dx \\ &= \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{64}x^2 - \frac{1}{4}x^{-2} + x^{-6}} \, dx \\ &= \int_{2}^{3} \sqrt{\frac{1}{64}x^2 + 1 - \frac{1}{4}x^{-2} + x^{-6}} \, dx \\ &= \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{8}x + x^{-3} \right) dx \\ &= \left[ \frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{2}x^{-2} \right]_{2}^{3} \\ &= \left( \frac{1}{16} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} \right) - \left( \frac{1}{16} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \right) \\ &= \left( \frac{9}{16} - \frac{1}{18} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \right) \\ &= \left( \frac{81}{144} - \frac{8}{144} \right) - \left( \frac{2}{8} - \frac{1}{8} \right) \\ &= \frac{73}{144} - \frac{1}{8} \\ &= \frac{73}{144} - \frac{18}{144} \\ &= \frac{55}{144} \end{align*} \] Jadi, panjang busur kurva tersebut adalah \( \boxed{\dfrac{55}{144}} \).
Turunkan terhadap \( x \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{8}x - x^{-3} \] Panjang busur: \[ \begin{align*} S &= \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \\ &= \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{8}x - x^{-3} \right)^2} \, dx \\ &= \int_{2}^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{64}x^2 - \frac{1}{4}x^{-2} + x^{-6}} \, dx \\ &= \int_{2}^{3} \sqrt{\frac{1}{64}x^2 + 1 - \frac{1}{4}x^{-2} + x^{-6}} \, dx \\ &= \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{8}x + x^{-3} \right) dx \\ &= \left[ \frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{2}x^{-2} \right]_{2}^{3} \\ &= \left( \frac{1}{16} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} \right) - \left( \frac{1}{16} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \right) \\ &= \left( \frac{9}{16} - \frac{1}{18} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \right) \\ &= \left( \frac{81}{144} - \frac{8}{144} \right) - \left( \frac{2}{8} - \frac{1}{8} \right) \\ &= \frac{73}{144} - \frac{1}{8} \\ &= \frac{73}{144} - \frac{18}{144} \\ &= \frac{55}{144} \end{align*} \] Jadi, panjang busur kurva tersebut adalah \( \boxed{\dfrac{55}{144}} \).
© Copyright 2025 | KP Mahasiswa Matematika 2022